Re: Perkenalan anggota

[Muhammed-Farchani Rosyid <ptmfr@pt.tu-clausthal.de>]

Ass.wr.wb.

oktova@itp.uni-hannover.de wrote:
>.... karena insya Allah aktivitas kita
> tidak akan terhenti sampai di sini, tapi juga bisa kita jalin kerjasama
> penelitian dan pendidikan yang kokoh dan terarah. Mohon Pak Rosyid (sebagai
> pengusul) berkenan memulainya.

Wah...wah...Sendiko pak!!

begini:

Alamat di Indonesia :

   - Rumah : Belum punya
   - Tempat bekerja : Lab. Atom & Inti FMIPA UGM
                      SEKIP UNIT III
                      Yogyakarta 55281

Alamat di Jerman :
    - Rumah yang saya sewa : Am Ehrenhain 1
                             38678 Clausthal-Zellerfeld
                             Germany
                             Telp. : (05323) 3825
    - Tempat nongkrong sambil nge-mail :
                       Arnold-Sommerfeld-Institut fuerMathematische
Physik
                       Leibnizstrasse 10,
                       38678 Clausthal-Zellerfeld
                       Germany
                       Telp. : (05323)723167
 
Interest : Methods of Differential Geometry, Topology, Functional
analysis,
           Lie Group and theory of Representation in Mathematical
Physics,
           Quantization Procedure : Geometric*) Quantization and Borel
           Quantization          

Wassalam
Pakne Amalia

-----------------------------
*) Menuruti permintaan rekan Budi Kurniawan dari negerinya Kobayashi
(Author
   salah satu buku standard mathematics dalam Differential Geometry)
maka
   berikut ini saya perkenalkan sedikit tentang Geometric Quantization.
   Selamat menikmati!!

            
"The problem of finding quantum conditions now reduces to the problem of
determining Poisson Brackets (P.B.) in quantum mechanics. The strong 
analogy between the quantum P.B.s ... and the classical P.B.s leads us 
to make the assumption that the quantum P.B.s or at any rate the 
simpler ones of them, have the same values as the corresponding 
classical P.B.s, The simplest P.B. are those involving the canonical
coordinates and momenta themselves..."
                   (Dirac, dalam The Principle of Quantum Mechanics
1930)
 
Mekanika Quantum diperoleh melalui proses pengkuantuman Dirac (Sitiran
di muka dirasa telah cukup memberi gambaran tentang pengkuantuman
Dirac).
Dalam perjalanannya tidak dapat dipungkiri bahwa telah banyak
sekali data-data yang mampu diterangkan. 
Namun, pengkuantuman ini hanya dapat dilakukan pada ruang Euclid dan
tidak dapat diterapkan pada sembarang manifold terdifferentialkan 
(saya sedang bingung mencari istilah Indonesiannya). Selain itu ada lagi
ketidakkonsistenan (inconsistenc) yang dikenal dengan ketidakkonsistenan 
Weyl yang berkaitan dengan penyusunan observabel quantum dari yang
klassik.
Seperti diungkap oleh Dirac diatas bahwa tidak seluruh aljabar Poisson
(yaitu aljabar Lie yang beranggotakan semua fungsi berklass C~ pada
ruang fase dengan kurung Poisson sebagai perkalian Lie) dapat dicarikan
jodoh kuantumnya. Tetapi, sebaliknya, hanya sub aljabarnya saja.
Pengkuantuman geometrik menawarkan beberapa langkah untuk menghindari
kelemahan-kelemahan tersebut :
Pertama, mereformulasi mekanika klasik (M.Kl.) dengan "coordinat-free 
differential geometry". Melalui cara ini M.Kl. "ditampilkan" pada
sembarang manifold simplektik M, yaitu suatu differentiable manifold 
yang padanya dapat didefinisikan sebuah diffrential form berderajad
dua yang tertutup dan tak merosot (non-degenerate). Manifold sim-
plektik ini berperan sebagai ruang fase umum (lebih umum dari pada
R x R x ...x R ; yaitu produk kartesis dari 2n buah R).
Setruktur simplektik menelorkan kurung Poisson yang menyediakan 
perkalian Lie bagi himpunan semua fungsi berkelas C~ pada M untuk
membentuk suatu aljabar Lie. Aljabar ini disebut aljabar Poisson.
Aljabar Poisson mempunyai dua peran :
1. Sebagai observabel (tepatnya observabel klasik)
2. Sebagai pembangkit bagi "one-parameter local group of local 
diffeomorphisms" melalui medan vektor hamiltonan dari observabel
yang bersangkutan. Terhadap group ini, struktur simplektik bersifat
invariant. Oleh karena itu disebut simplektomorphisme.
Bila yang diambil sebagai pembangkit simplektomorphisme adalah
observabel tenaga maka yang didapat adalah evolusi sistem terhadap
waktu.

Kedua, Pra-pengkuantuman.
Proses pengkuantuman pada hakekatnya adalah representasi Aljabar
Poisson di ruang Hilbert dengan beberapa syarat tertentu (constraint).
Salah satu syarat yang sering menghambat adalah syarat 
"irreducibility". Syarat inilah yang memaksa Dirac (sebagaimana
sitiran di muka) membatasi pada observabel klasik yang "sederhana".
Bila syarat irreducibility ini tidak terpenuhi, maka proses
pengkuantuman hanya dapat dikatakan sebagai pra-pengkuantuman.
Syarat yang lainnya memaksa kita untuk mendirikan "bundel garis
komplks" (complex line bundle) di atas M sebagai satu-satunya 
pilihan untuk dijadikan ruang Hilbert.
Struktur bundel garis yang dibekali dengan koneksi (connection)
ini menentukan dapat tidaknya pengkuantuman dilakukan pada M.
M dikatakan "quantizable" bila struktur simplektiknya berasal
dari kelas kohomologi de Rham yang bernilai bulat (integer).

Ketiga, Polarisasi.
Polarisasi pada dasarnya adalah penyekatan-penyekatan M menjadi
submanifold-submanifold maksimal yang padanya struktur simplektik
merosot. Submanifold semacam ini disebut Submanifold lagrangan.
Proses ini dilakukan karena
1. alasan "locality"
2. Pada umumnya M tidak mempunyai struktur tambahan sebagaimana
   bundel kotangent (cotangent bundle)
Pada sebuah bundel kotangent, terdapat dua macam  polarisasi:
vertical dan horizontal. Polarisasi vertical mereproduksi
wakilan momentum (momentum representation) dari persamaan 
Schroedinger. Sedang polarisasi horizontal mereproduksi
wakilan koordinat persamaan Schroedinger.